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九年级竞赛试题

时间:2018-05-05 11:37:50

  九年级竞赛试题

  数 学

  (时间120分钟 分数 100分)

  命题人:三中 朱浩强

  一、选择题(每小题5分,共25分) 1、若实数a、b满足

  1

  aabb220,则a的取值范围是( ) 2

  A、a≤-2 B、a≥4 C、-2≤a≤4 D、a≤-2或a≥4

  2、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0,恰有一个公共

  a2b2c2

  实数根,则的值为( ) 2bc2ca2ab

  A、0

  4

  B、1

  3

  4

  C、

  3 2

  2

  D、3

  3、已知a23,b24,c32,d43,则a,b,c,d的大小关系是( ) A、a=b=c=d B、a=b=d>c C、d

  4、已知2012个数x1,x2,x3,……,x2012,它们每一个数只能取0、1、-2,这三个数中的一个,且x1+x2+……+x2012=- 5,x12+x22+x20122=19,则x13+x23+……+x20123的值为( ) A、-28 B、-29 C、-32 D、-33 5、如图,在△ABC中,AC=12,BC=8,D为AB的中点,E为AC边

  D 第5题

  A

  1

  上一点,且∠AED=90 o+

  2

  A、9 B、10 C、11 二、填空题(每小题5分,共25分) 6、设S11

  D、12

  11111111,S1,S1S1,设23n22222222122334n(n1)

  SS1S2Sn,则不超过S的最大整数[S]

  为 。(用含n的代数式表示) 7、若实数a、b满足

  ab

  1,

  24532463

  第8题

  1

  ab1,则a+b= 。 43433536

  8、在四边形ABCD中,∠ABC=30 o,∠ADC=60 o,AD=DC,AB=6,BC=8,则。

  9、如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y2

  xy

  A2 A1

  B2 O x

  B1 P3 P 2

  P1 第9题 (x<0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴,y轴的负半轴上,再在其左侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3、P2在反比例函数y2(x<0) 的图象上,顶点A2在x轴的负半轴上,则x

  点P3的坐标为 。

  yx3ax2bx10、已知a、b是不为0的实数,且关于x、y的方程组有整数解,则a、

  yaxb

  b满足的关系式是。

  三、解答题(50分满分)

  11、(满分12分)做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获毛利润分别为30元和40元,乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件,B款式服装25件,怎么分配给每个店铺各30件服装,使得在保证乙店铺获毛利润不少于950元的前提下,王老板获取的总利润最大最大的总毛利润是多少

  12、(满分13分)已知(2,3)是反比例函数y

  (1)求过P且与双曲线yk图象上的一点。 xk只有一个公共点的一次函数的解析式;(4分) x

  (2)Q是第三象限内双曲线上一动点,过点Q的直线与双曲线只有一个公共点,且与x轴,y轴分别交于C、D两点,设(1)中求得的一直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,试证明OCOD=OAOB;(4分)

  (3)由(2),试分析当四边形ABCD面积最小时的形状。(5分)

  x 2

  13、(满分13分)如图,O为△ABC的外心(三角形三条边垂直平分线的交点),OE⊥BC,BC=2OE,AD为BC边上的高.

  (1)求∠BAC的度数;(3分)

  (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB样交于H,求证:四边形AFHG是正方形;(4分)

  (3)在(2)的条件下,连FG分别交AC、AB于点M、N,若CD=6,BD=4,GN=2,求AD与MN的长。(6分)

  14、(满分12分)已知y=m2+m+4,若m为整数,在使得y为完全平方数的所有m的值中,设m的最大值为a,最小值为b,次小值为c(注:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数。)

  (1)求a、b、c的值;(7分)

  (2)对a、b、c进行如下操作:任取两个求其和再除以2,同时求其差再除以2,剩下的另一个数不变,这样就仍得到三个数。再对所得三个数进行如上操作,问能否经过若干次上述操作,所得三个数的平方和等于2012证明你的结论。(5分)

  3

  一、选择题

  1、D 2、C

  二、填空题

  6、n 3、C 4、B 5、B 7、438 8、10 9、 10、2a-b+8=0 (31,13)

  11、解:设分配给乙店铺A款式服装x件,乙店铺毛利润为y1元,则y1=27x+36(30-x)=-9x+1080

  30x25由得5≤x≤30且为整数

  x30

  ∴y1=-9x+1080(5≤x≤30且为整数) 由y1≥950 有-9x+1080≥950 得

  4x14 9

  4∴5≤x≤14且为整数 9

  4又因总利润y=-9x+1080+30(35-x)+40[25-(30-x)]=x+1930(5≤x≤14且为整数) 9

  ∵y随x增大而增大,故当x=14时,y最大,且最大值为1944元,即当分配给乙店铺A款服装14件时,王老板获的总毛利润最大,此时,应分配给乙店铺B款服装30-x=16(件),分配给甲店铺A款服装35-x=21(件),B款30-21=9(件)

  12、解(1)设一次函数y=ax+b ∵过P(2,3) ∴y=ax+3-2a

  k6又P(2,3)在y上,∴k=6 ∴反比例函数为y xx

  6由条件知ax(32a)只有一解,即ax2(32a)x60只有一解 x

  33∴△=(3-2a)2+24a=0 ∴a ∴一次函数为yx6 22

  (2)设直线CD为y=mx+n ∵过Q的直线CD与双曲线只有唯一交点 ∴方程mx2+nx-6=0 有两个相等实根 由△=0知 ∴n2+24m=0 ∴n2=-24m nn即OC,ODn 又C(,0)D(o,n)mm

  nn2

  n)24 ∴OCOD=mm

  3由(1)中直线yx6知OA=4,OB=6 2

  ∴OAOB=24 ∴OAOB=OCOD

  (3)S四边形ABCD

  n2

  而m2411nnn21BDAC6n)(4)1232n 22mmm2S1272362n12242[(n)] nn

  4

  6(6)2362n] 当 n时 S=48,此时n6,m=48+2[242nn

  ∴OC=4,OD=6

  又由(2)OA=4,OB=6 ∴OA=OC OB=OD 而BD⊥AC ∴四边形ABCD为菱形

  13、(1)∠BAC=45o (2)略 (3)AD=12 MN=52

  14、(1)设m2m4k2(k为非负整数),则有m2m4k20

  由m为整数知其△为完全平方数,即14(4k2)p2(P为非负整数) 得(2k+p)(2k-p)=15 显然2k+p>2k-p

  所以2kp152kp5,解得P=7或P=1 或2kp12kp3

  1±p,得m1=3,m2=-4,m3=0,m4=-1 2所以m

  所以a=3,b=-4,c=-1

  abab(2)因为c2a2b2c2 2222

  即操作前后,这三个数的平方和不变

  而32(4)2(1)22012

  所以,对a、b、c进行若干次操作后,不能得到2012

  5